0 引言

金属化膜电容器是由2张单面蒸涂厚约20~100 nm的薄金属(铝或铝合金)的有机膜绕卷而成,由于其高可靠性和高储能密度,被广泛应用于脉冲功率领域^{[1- 4]}。金属化膜电容器的自愈过程会减少电容器的电容值。在电磁发射应用中,金属化膜的寿命是指当电容值下降初始电容值的5%时所经历的充放电次数^{[ 2]}。电容器的寿命对工况非常敏感,其中包括充电电压、反转电流、温度、充放电频率等^{[ 5- 6]}。在高能量的脉冲功率系统中,通常将金属化膜电容器并联形成电容器模块进行使用。这样电容器模块可以输出更高的功率,并且储存更多的能量。由于单次充放电引起的电容量损失往往很小,在短时间很难得到它的寿命数据。建立电容器寿命分布模型并获得寿命分布参数是进行寿命可靠性判断和验收必须要解决的问题。

目前研究金属化膜电容器寿命预测研究主要是利用概率论与数理统计相关模型,通过对充放电后的电容器的电容量采集、分析和处理相关数据,对电容器寿命进行预测^{[ 7- 8]}。目前学者研究电容器电容值损失的方法主要为相关概率统计方法^{[ 9- 10]}。传统的寿命预测方法有最小二乘法和Weibull分布模型方法,Birnbaum-Saunders（又名疲劳寿命分布）分布模型方法和Poisson分布模型方法是基于物理概率过程的。传统的最小二乘法只适用于电容值损失是稳定分布的情况,并且不能进行寿命的可靠性研究。当有大量数据时,运用传统的Weibull分布模型方法的效果良好,但是该模型没有考虑电容器的电容值损失量的分布情况。新提出的Birnbaum-Saunders分布模型方法和Poisson分布模型方法考虑到了每次充放电的电容值损失,但模型参数是固定不变的。粒子滤波方法可以适应非平稳的分布模型,同时可以跟踪历史数据更新模型参数,通过历史数据不断更新模型参数,来实现更准确的寿命预测。据作者了解,还没有文献运用粒子滤波方法对电容器寿命进行预测研究。本文将介绍粒子滤波方法、Weibull分布模型方法和Birnbaum-Saunders分布模型方法的原理,并通过实验数据研究,分析以上3种寿命预测方法的预测效果。

1 寿命预测方法

1.1 Weibull分布方法研究

Weibull分布常用于电容器的寿命统计分析。采用Weibull分布函数\(F(t)\)表示电容器寿命小于某一数值概率^{[ 11]},其计算式为

\(F(t)=1-\exp \left( -{{\left( \frac{t}{\eta } \right)}^{m}} \right)\) (1)

式中：\(t\)为电容器寿命;\(\eta \)为刻度参数;m为形状参数。形状参数影响寿命分布的形状,不是单单的平移或拉伸。m>1表示失效率随着时间的增加而增加,是一个老化过程。\(\eta \)决定了寿命统计分布的分散情况,表示电容器失效概率为63.2%时的充放电次数。Weibull分布的概率密度函数为

\(f(t)=\frac{\text{d}F(t)}{t}=\frac{m}{\eta }{{\left( \frac{t}{\eta } \right)}^{m-1}}\exp \left( -{{\left( \frac{t}{\eta } \right)}^{m}} \right)\) (2)

计算Weibull分布模型中参数的方法主要有最小二乘法和极大似然函数法^{[ 12]}。寿命统计分析预测的基本步骤为：1）在相同条件下进行实验,获得电容器容值损失数据;2）通过实验获得每个电容器的寿命;3）通过极大似然函数法估计Weibull分布模型中的参数。

对于一系列的电容器,令其实验测得的寿命分别为：\({{t}_{1}},\ {{t}_{2}},\ \cdots ,\ {{t}_{N}}\)（下标N为电容器的个数）。通过极大似然方法进行估计,模型参数可以通过式(3)获得^{[ 13]}

\(\left\{ \begin{align} & \frac{\sum\limits_{i=1}^{N}{t_{i}^{m}\text{ln}{{t}_{i}}}}{\sum\limits_{i=1}^{N}{t_{i}^{m}}}-\frac{1}{m}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}{\text{ln}{{t}_{i}}} \\ & \eta ={{\left( \frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}{t_{i}^{m}} \right)}^{\frac{1}{m}}} \\ \end{align} \right.\) (3)

只要得到Weibull分布参数m和\(\eta \),便可计算出电容器的寿命及其可靠性。预期寿命的计算式为

\({{E}_{\text{T}}}=\int{tf(t)\text{d}t}=\eta \text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }(1+\frac{1}{m})\) (4)

式中,\(\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }\)为Gamma函数,\(\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }(x)=\int_{0}^{\infty }{{{t}^{x-1}}{{\text{e}}^{-t}}\text{d}t}\)。

值得指出的是,Weibull分布模型需要大量的实验数据来保证它的有效性。当数据可以真实地反映出电容器的寿命特征时,采用Weibull分布可以精确分析电容器的寿命和可靠性。

1.2 Birnbaum-Saunders分布研究

Birnbaum-Saunders分布也被称为疲劳寿命分布,专门用于研究实际寿命分析问题。该分布首先由Bernstein提出,随后被Birnbaum和Saunders用于分析物理失效过程^{[ 14]}。该方法基于基本的物理失效过程特征量,考虑到了电容值的稳定损失,能够较为准确地预测电容器的寿命。Birnbaum-Saunders分布的初始假设是充放电过程中发生第j次放电的电容值损失量为\(\Delta {{C}_{j}}\)。在第n次充放电结束后,总共的电容值损失量为

\({{C}_{\text{l}}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{\Delta {{C}_{j}}}\) (5)

在寿命失效过程中,\(\Delta {{C}_{j}}\)可以假设为独立分布且非负的随机参数;同时遵从与正态分布（期望是\(\mu \),方差是\({{\sigma }^{2}}\)）。假设电容器在第n次充放电时失效,电容器电容值损失量达到5%即\(\omega =0.05\),则失效的概率分布可表示为

\(P({{C}_{\text{l}}}\ge \omega )=1-P(\sum\limits_{j=1}^{n}{\Delta {{C}_{j}}\ge \omega })\) (6)

式(6)中,当n足够大时,考虑到中心极限定理和正态分布的对称性^{[ 15]},有

\(P({{C}_{\text{l}}}\ge \omega )\approx 1-\Phi (\frac{\omega -n\mu }{\sqrt{n}\sigma })=\Phi (\frac{\sqrt{n}\mu }{\sigma }-\frac{\omega }{\sqrt{n}\sigma })\) (7)

式中,\(\Phi \)为标准正态分布函数。由于在寿命测试中有上千次充放电实验,因此可采用一个连续的时间t来代替离散次数变量n,则分布函数可以写成

\(F(t)=\Phi (\frac{1}{\alpha }(\sqrt{\frac{t/n}{\beta }}-\sqrt{\frac{\beta }{t/n}}))\) (8)

式中：\(\alpha =\sigma /\sqrt{\mu \omega }\ \beta =\omega /\mu \)。\(\mu \)和\(\sigma \)可以通过矩量法估计算法计算得到^{[ 11]}

\(\left\{ \begin{align} & \mu =\sum\limits_{j=1}^{n}{\Delta {{C}_{j}}/n} \\ & \sigma =\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n}{{{(\Delta {{C}_{j}}-\mu )}^{2}}/n}} \\ \end{align} \right.\) (9)

通过实验数据可以计算出 \(\mu \)和\(\sigma \)后，\(\alpha \)和\(\beta \)可以通过\(\alpha =\sigma /\sqrt{\mu \omega \ }\beta =\omega /\mu \)计算得出。因此寿命的期望和方差的计算式分别为

\(\left\{ \begin{align} & {{E}_{\text{T}}}=\beta (1+{{\alpha }^{2}}/2) \\ & {{D}_{\text{T}}}={{(\alpha \beta )}^{2}}(1+5{{\alpha }^{2}}/4) \\ \end{align} \right.\) (10)

1.3 粒子滤波预测方法

目前,粒子滤波方法逐渐被广泛用于预测研究^{[ 16- 17]}。粒子滤波通过计算概率密度函数,运用统计学贝叶斯推理来估计和更新模型的参数。粒子滤波包含如下假设：

1）系统状态是描述系统退化过程的状态。系统状态表示为\({{x}_{k}}\),k为充放电次数。可以通过马尔克夫过程的初始分布\(p({{x}_{0}})\)和转换方程\(p({{x}_{k}}|{{x}_{k-1}})\)来更新系统状态。需要注意的是系统状态无法被观测,属于隐藏状态。

2）观测状态是显示出带有噪声的系统状态。假设观测量为\({{y}_{k}}\),则观测量可以通过系统状态\({{x}_{k}}\)和边缘分布\(p({{y}_{k}}|{{x}_{k}})\)概率计算得出。

粒子滤波方法被称为有着贝叶斯更新参数的序列蒙特卡洛方法。当获得新的测量数据时,前一时刻的后验概率信息被当作此刻的先验概率信息。粒子滤波中重要的2个关系式为状态转移函数g和测量函数h,进而可以计算出系统状态 \({{x}_{k}}\)和观测状态\({{y}_{k}}\)：

\({{x}_{k}}=g({{x}_{k-1}},{{\mathbf{\theta }}_{k}},{{v}_{k}})\) (11)

\({{y}_{k}}=h({{x}_{k}},{{{w}'}_{k}})\) (12)

式中：\({{\theta }_{k}}\)为模型参数向量;\({{v}_{k}}\)和\({{{w}'}_{k}}\)分别为过程噪声和测量噪声。

实际上,粒子滤波过程分为2个步骤。一.个步骤是状态预测,另外一个步骤是更新预测模型参数。

1）状态预测过程：运用前一时刻的状态和转移方程\(p({{x}_{k}}|{{x}_{k-1}})\)来估计现在时刻状态

\(p({{x}_{k}}|{{y}_{1:(k-1)}})=\int{p({{x}_{k}}|{{x}_{k-1}})}p({{x}_{k-1}}|{{y}_{k-1}})\text{d}{{x}_{k-1}}\) (13)

2）参数更新过程：运用新测量的数据,按照贝叶斯规则来建立状态预测的概率分布函数

\(p({{y}_{k}}|{{y}_{1:(k-1)}})=\int{p({{y}_{k}}|{{x}_{k}})p({{x}_{k}}|{{y}_{1:(k-1)}})}\text{d}{{x}_{k}}\) (14)

式(13)、(14)展示了最优贝叶斯解决方法。但这只是一个解决概念,不适用于实际情况。在预测过程中,可以通过建立动态状态模型来解释未来时刻\({{x}_{\text{now}+i}}({i}'=1,2,3,\cdots )\)的电容值状态,\({{x}_{\text{now}+{i}'}}\)可以根据当前时刻的状态\({{x}_{\text{now}}}\)和状态转移概率分布函数\(p({{x}_{k}}|{{x}_{k-1}})\)求得。这就需要在未来所有可能概率的情况下,建立初始的条件概率,即

\(p({{x}_{k+l}}|{{y}_{0:k}})=\int{...\int{\prod\limits_{j=k+1}^{k+l}{p({{x}_{j}}|{{x}_{j-1}})}}}p({{x}_{k}}|{{y}_{0:k}})\prod\limits_{j=k}^{k+l-1}{\text{d}{{x}_{j}}}\) (15)

式中,l为进行k次充放电后又进行l次充放电。整个预测过程中的算法流程如图1所示,其中w_k为粒子权重。首先要通过已知退化电容器的电容值变化曲线来确定预测对象退化的经验模型,对粒子滤波参数初始化。然后进行每个粒子的初始权重设置,通常所有粒子的初始权重分布为平均分布。然后通过状态模型来递推。在每一次递推之后比较多个粒子预测的值与实际测量值,保留较大的粒子,去掉较小的粒子,这个过程被称为更新权重。为了防止权重退化,需要进行重采样。

图2为粒子滤波预测方法中k+1步的重采样示意图,图中每个实心原点表示一个粒子,空心原点代表剔除的粒子。可以看到,第k步的后验概率有10个粒子,当10个粒子经过虚线的预测阶段后,得到了第k+1步的后验概率。此时通过分析k+1步的可能性分布以及虚线的重采样,去除掉概率较低的粒子,增加概率较高的粒子,最终得到k+2步的后验概率。k+1步的可能性分布中,第1、2、9、10号粒子概率较低,所以剔除。而4、5、6、7号粒子概率较高,将会增加该粒子出现的概率,最终第k+2步的先验概率的10个新粒子中含有k+1步中的4、5、6、7号粒子各2个。因此,整个预测过程是一个迭代的过程,每一步都会经过预测和重采样,重采样的过程中保留概率较大的粒子,去掉概率较小的粒子,从而更新粒子滤波的模型,使得模型参数满足有个体差异的各个电容器。而Weibull分布方法和Birnbaum-Saunders分布方法无法做到

图1 粒子滤波流程图 Fig.1 Flow chart of particle filter

这一点。

粒子滤波方法中的重采样方法有很多,本文采用逆累计分布法,其过程如图3所示,图中的实线为所有粒子发生概率的累计分布函数。生成一个U(0, 1)平均分布的随机数,把它当作累计分布的数值。最终通过这个数值来采样该区间的粒子。重复以上过程M次,即可以重新采样M个粒子。值得注意的是,粒子的分布是离散分布,最靠近生成随机数的粒子将会被选择。第k步重采样后的粒子分布是第k+1步粒子的先验概率。

在预测阶段,当经验公式所得参数经过测量数据的修正之后,开始通过状态转移函数进行预测递推过程,直到电容器电容值达到失效的阀值（如图4中的点划线）。图4中的2条虚线分别表示电容值预测寿命的上、下界限。寿命分布可以通过分析达到阀值时刻的概率密度函数来获得。在预测过程中,经验公式所得参数保持不变。

2 实验与分析

2.1 实验与计算

为了比较3种方法对电容器寿命的预测效果,设计实验电路如图5所示。图5中测试金属化膜储能电容C=34 μF,TH为晶闸管,D为续流二极管,防止电容器反向充电,调波电感L=415 μH,负载电阻R=3.425 Ω。采用该试验平台来研究电容器寿命,脉冲放电时间为1 ms,电流反峰比为10%,室内环境温度为25 ℃。典型的电容器工作模式如图6所示。图6(a)为电容器工作模式中的电压变化情况,图6(b)为电容器放电时的典型电压电流曲线。

电容器工作模式分为4个部分：（1）充电阶段：电容器以恒定的充电速率经过\({{t}_{\text{c}}}=0.8\ \text{s}\)后达到设定工作电压;（2）电压保持阶段：电容器在工作电压下保持时间为\({{t}_{\text{h}}}=0.1\ \text{s}\);（3）脉冲放电阶段：晶闸管触发导通,脉冲电容器放电持续时间为\({{t}_{\text{d}}}=1\ \text{ms}\);（4）间隔阶段：脉冲电容器停止工作,经过时间\({{t}_{\text{i}}}=0.1\ \text{s}\)后继续下一轮脉冲充放电过程。本文中在放电阶段时触发晶闸管导通,使电容器通过电感及电阻回路放电。当电容器放电结束时,二极管导通与电阻和电感一起组成续流回路,负载电流组件降为0。以上过程算完成一次充放电。由于单次充放电电容器电容值损失量较小,在每进行50次充放电循环后,即50 s后,断电进行电容值测量,采用

图2 粒子滤波示意图 Fig.2 Illustration of particle filter

图3 重采样示意图 Fig.3 Illustration of resampling method

图4 预测过程示意图 Fig.4 Illustration of prediction progress

HG2810B数字电桥电容测试仪进行测量。测量电容器电容值的这段时间也是给电容器进行冷却的时间,通常保持在5 min左右。

取54个新电容器作为实验对象。把54个电容器分为3组,每组各有18个电容器,每组电容器将用同一种工况进行实验,即相同的电容器充电器电压、电流反峰比、工作频率。实验过程中,每组的前9个电容器为已知样本组;后9个电容器为未知

图5 实验原理图 Fig.5 Experimental circuit

寿命组,用来研究3种寿命预测方法的准确性。电容器的寿命定义为其电容值下降5%时,电容器放电的次数。表1为3组电容器的实验工况。

以第1组实验为例,18个电容器在相同情况下来进行重复实验,分别采用3种方法来预测第1组中后9个电容器的寿命。最终得到第1组的前9个电容器样本寿命（放电次数）分别为：5 671、5 423、5 656、5 681、5 898、5 675、5 801、5 789、5 367;后9个电容器的寿命（放电次数）分别为5 798、5 664、5 671、5 672、5 411、5 346、5 912、5 794、5 678。图7为电容器容值退化曲线,可以看出18个电容器的电容值变化趋势是一样的。

2.1.1 Weibull分布模型方法

通过对第1组中前9个电容器的寿命值分析,根据式(3)得到Weibull分布模型的参数为：\(\eta =\text{5}\text{.738}\ \text{7}\times \text{1}{{\text{0}}^{3}}\),\(m=\text{40}\text{.972}\ \text{5}\)。根据式(4)可以得到电容器寿命的期望是5 661次,标准差是174次。

2.1.2 Birnbaum-Saunders分布模型方法

基于第1组中9个电容器多次充放电记录的电容值损失量的实验数据,采用间隔50次充放电的测量结果进行计算,其中ω=0.05。根据式(9)、(10)拟合出电容值损失样本的均值和方差。根据式(12),运用均值和方差可以求得系数\(\alpha \)、\(\beta \)。结果如下：

\(\left\{ \begin{align} & \mu =4.962\ 3\times {{10}^{-4}} \\ & \sigma =1.6\times {{10}^{-3}} \\ & \alpha =0.321\ 2 \\ & \beta =\text{100}\text{.759}\ \text{7} \\ \end{align} \right.\) (16)

\(F(t)=\Phi \left( \frac{1}{0.321\ 2}\left( \sqrt{\frac{t/50}{\text{100}\text{.759}\ \text{7}}}-\sqrt{\frac{\text{100}\text{.759}\ \text{7}}{t/50}} \right) \right)\) (17)

因此求得的电容器寿命期望是5 298次,标准差为1 183次。

2.1.3 粒子滤波方法

通过对第1组中9个已知样本电容器电容值退

图6 电容器重复工作模式 Fig.6 Capacitor duplication mode

图7 电容器容值退化曲线 Fig.7 Capacitance degradation curve of capacitor

表1 3组实验工况比较 Table 1 Comparison of three groups of experimental conditions

化数据进行分析拟合,得到初步的电容器电容值退化经验模型为

\(C(k)=a{{\text{e}}^{bk}}+c{{\text{e}}^{dk}}\) (18)

式中：a、b、c、d表示拟合的4个参数。

通过对第1组数据的分析可初步得到经验模型中各拟合参数的取值范围：a∈[-0.178 4,-0.176 4], b∈[0.000 878,0.000 898], c∈[1 018,1 022], d∈[-4.259×10^-6,-4.059×10^-6]。

由于单次充放电电容值的损失量不明显,所以通过测量第1、51、101、151、201、…、951次（共20次）充放电时,对电容器采用粒子滤波的方法进行预测寿命,采用逆累计分布函数进行冲重采样^{[ 16]}。由于采样间隔是50次,所以最后得到的结果次数的分辨率是50次。可以得到9个电容器的寿命（放电次数）分别为：5 780、5 650、5 650、5 700、5 500、5 400、5 850、5 750、5 750。

2.2 方法比较与分析

通过3种不同的预测电容器寿命方法来计算第1组中后9个电容器的寿命,比较3种预测方法的效果。图8为3种方法的可靠度曲线。发现基于粒子滤波方法的可靠度与Weibull分布方法、Birnbaum-Saunders分布方法的可靠度相似。表2中具体列出了3种方法的寿命预测期望、平均偏差和可靠度。通过比较发现,基于Birnbaum-Saunders分布方法的离散度略大于粒子滤波方法和Weibull分布方法。这种现象不是偶然。在寿命分析中,若考虑更多的随机过程,则概率密度函数就会越分散,由于Birnbaum-Saunders分布方法考虑到了电容损失量的随机过程,所以Birnbaum-Saunders分布方法预测相对不准,且标准差过大。对于Weibull分布方法,它只考虑寿命结束时的充放电次数,不会考虑电容损失量的变换过程,且假设不同的电容器样本的电容损失量服从同样的分布,因此Weibull分布没有考虑到电容器之间的差别,预测得到的结果没有基于粒子滤波方法准确。

粒子滤波方法的寿命预测准确程度最高,这是因为在粒子滤波过程中会根据测量数据对模型进行修正。Weibull分布方法需要大量的实验数据才能够准确预测出结果,而粒子滤波方法则不需要。粒子滤波方法会通过多次测量数据修正模型参数,使得经验模型的参数趋向于单个电容器寿命模型的参数,考虑到了电容器之间的差异性,使得寿命预测模型更加准确。

由第1组的后9个电容器寿命结果可知,第6个电容器的寿命是5 346次,该寿命值明显低于平均水平,Weibull分布方法的寿命预测结果为5 661次;而粒子滤波方法的寿命预测结果为5 400次,更加准确。同样的情况发生在第7个电容器,它的寿命为5 912次,明显高于平均水平,同样采用粒子滤波方法的预测结果更加准确。

为了比较多种工况下3种寿命预测方法所得结果,对2—9组工况的每组18个电容器也进行与第1组相同的实验,每组前9个电容器为实验样本,后9个电容器为测试样本。最终结果如表3所示。

由表3可知,在不同工况下,粒子滤波方法和Weibull分布方法的预测偏差普遍小于Birnbaum-Saunders分布方法。而粒子滤波方法的预测偏差略小于Weibull分布方法。这说明粒子滤波方法在大多数工况下的寿命预测精度略高于Weibull分布方法,且远高于Birnbaum-Saunders分布方法。综上所述,粒子滤波方法的预测效果优于Weibull分布方法和Birnbaum-Saunders分布方法。

3 结论

本文对162个电容器进行退化实验,采用3种寿命预测方法对电容器寿命进行预测,比较所得预测结果可知：

图8 不同方法的可靠度曲线 Fig.8 Reliability functions of different models

表2 3种寿命预测模型比较 Table 2 Comparison of three life-prediction methods

表3 多组实验结果比较 Table 3 Comparison of eight experimental results

1）Birnbaum-Saunders分布方法需考虑每次充放电电容值损失量的分布情况,导致预测方差过大,预测不够准确。

2）Weibull分布方法只考虑电容器的寿命值,且需要大量实验数据。

3）新提出的粒子滤波方法可以根据测量数据动态调整模型参数,有效地考虑到了电容器之间的差异,从而得到更准确的预测结果。

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