在曝光时间内成像设备如数码相机等与场景中的单个或多个目标物体之间发生的相对运动称之为图像运动模糊。图像去运动模糊（image motion deblurring）是针对由运动模糊造成的图像退化进行的图像复原，目的是消除由于运动模糊造成的图像降质^{[ 1]}。图像去运动模糊属于一类图像盲反卷积问题，具有病态性，即根据观测图像无法确定唯一的原始清晰图像和点扩散函数（point spread function，PSF），其解不具有唯一性。

正则化方法通过引入反映原始清晰图像和点扩散函数性质的先验知识作为正则项使图像去运动模糊问题良态化。图像去运动模糊的正则化方法包括两个步骤：首先，通过将清晰图像和点扩散函数的统计规律作为先验约束，得到点扩散函数的最优估计值；再通过图像非盲卷积技术求解清晰图像的原始最优近似解。研究表明^{[ 2]}原始清晰图像和点扩散函数一般具有某种统计规律：在图像去运动模糊问题中，点扩散函数描述的是成像设备与目标物体间的相对运动轨迹，只有运动轨迹上有值，其相应的矩阵/向量表达大部分的元素非常小甚至为零，为一个稀疏矩阵。另外，大多数清晰的自然图像的梯度服从一种重尾分布（heavy-tailed distribution）。

2006年，Fergus等^{[ 2]}提出一种基于变分贝叶斯的去相机抖动的图像盲复原方法，利用零均值的混合高斯分布来拟合图像梯度的重尾分布，利用混合指数分布来拟合运动模糊的点扩散函数的分布，并提出多尺度复原的思路，保证了算法的鲁棒性，最后采用RL算法进行图像复原。之后，关于图像去运动模糊图算法的研究，都受该思路的影响。Shan等^{[ 3]}基于文献[ 2]的思想提出一种更加合理的分段函数来拟合图像梯度的重尾分布，并根据图像中的平滑部分抑制振铃现象的发生。Krishnan和Fergus^{[ 4]}用超拉普拉斯分布（hyper-Laplacian distribution）来拟合图像梯度的重尾分布，提出一种基于查表的快速图像盲复原算法。Xu等^{[ 5]}认为图像边缘并不总是有利于点扩散函数的估计，相反地，只有当某些图像边缘尺度大于点扩散函数尺度时，才会得到正确的点扩散函数。Levin等^{[ 6]}分析了使用最大后验估计准则导致图像盲复原失败的原因，使得图像去模糊过程产生歧义，即不能保证总变分项在去模糊时的能量一直是下降的，有时反而是上升的，不利于模糊图像向清晰图像转化，故采用梯度降求解时往往得不到希望的解。Hurley^{[ 7]}总结了与其他正则项相比，归一化总变分项的优点，另外Krishna等^{[ 8]}通过实验证明了归一化的总变分项有利于模糊图像向清晰图像转化，同时认为只有考虑图像梯度的分布才能得到较好的复原结果。但以上方法在估计点扩散函数时，均只考虑了点扩散函数的稀疏性而未考虑到点扩散函数的其他性质如点扩散函数的连续光滑性，导致点扩散函数估计的不准确。

当采用高斯分布来拟合图像的梯度分布时，可采用快速傅里叶变换（fast Fourier transform，FFT）在频域求解，存在闭合的解。然而，真实场景图像的梯度分布往往是非高斯的，因此对于图像梯度高斯模型的假设复原的图像会过于平滑。当采用拉普拉斯分布来拟合图像梯度分布时，如Rudin等^{[ 9]}提出EOF模型以及Wang^{[ 10]}、Hu^{[ 11]}等采用的TV模型都在合理的时间内得到了不错的效果。自然图像的梯度分布比拉普拉斯有更明显的重尾，它能够被超拉普拉斯更好地模型化。虽然超拉普拉斯先验带来了更好的复原效果，但是它使得复原问题变成了非凸的，导致问题求解的困难。

本文基于正则化框架提出了一种多约束的图像去运动模糊方法。根据图像梯度符合重尾分布的特性，采用归一化的超拉普拉斯先验项作为其中一项正则项，同时采用点扩散函数自身的L₁范数来保证其稀疏性和Tikhonov正则化约束来保证其连续平滑性。由于能量方程不是严格凸的函数，故使用分裂方法进行求解。引入辅助变量，采用交替最小化，先处理问题的非凸部分，再使用快速傅里叶变换在频域中求解一个二次方程。整个图像去运动模糊过程在多尺度框架下由粗到细尺度渐近进行。最后利用估计出点扩散函数复原原始图像。

1 图像去运动模糊的多正则化约束

对于线性空间不变（linear space-invariant，LSI）的图像运动模糊过程可以用原始的清晰图像与点扩散函数的卷积^{[ 12]}来描述，如式（1）所示：

${\rm{g}}(\mathit{\boldsymbol{x}}){\rm{ = }}h{\rm{(}}\mathit{\boldsymbol{x}}{\rm{)}}*f{\rm{(}}\mathit{\boldsymbol{x}}{\rm{) + }}n{\rm{(}}\mathit{\boldsymbol{x}}){\rm{ = }}\int_{{\varOmega _h}} {h(\mathit{\boldsymbol{s}})f(\mathit{\boldsymbol{x}} - \mathit{\boldsymbol{s}}){\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{s}} + n(\mathit{\boldsymbol{x}})} $

(1)

式中：g（x）表示观测图像即模糊图像；h（x）表示线性空间移不变的点扩散函数（point spread function，PSF）即运动模糊核（motion blur kernel），并满足以下两个先验约束：1）半正定性，即h（x）是非负的；2）满足能量守恒，即 $\int_{{R^2}} {h(\mathit{\boldsymbol{x}}){\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{x}} = 1} $ ；f（x）表示原始的清晰图像；n（x）表示加性噪声，一般假设是均值为0方差为σ²的高斯白噪声； $\mathit{\boldsymbol{s}} = ({s_1},{s_2}) \in {\varOmega _h} \subset {{\mathbb{R}}^2}$ 和 $\mathit{\boldsymbol{x}} = ({x_1},{x_2}) \in $ ${\varOmega _f} \subset {{\mathbb{R}}^2}$ 分别表示点扩散函数和图像的支持域；*表示2维卷积符号。

1.1 图像的先验信息

常用的拟合自然图像重尾分布为：

$\ln p(\mathit{\boldsymbol{f}}) = - \sum\limits_i {\left( {{{\left| {{\nabla _{x,i}}\mathit{\boldsymbol{f}}} \right|}^p} + {{\left| {{\nabla _{y,i}}\mathit{\boldsymbol{f}}} \right|}^p}} \right)} + C$

(2)

式中： ${\nabla _{x,i}}\mathit{\boldsymbol{f}}$ 和 ${\nabla _{y,i}}\mathit{\boldsymbol{f}}$ 分别表示在像素点i处的x和y方向的微分；p=1表示Laplacian先验，p=2表示高斯先验， $p \prec 1$ 表示稀疏先验；C表示常数。

文献[ 4]认为清晰图像的梯度分布带有明显的重尾，可由超拉普拉斯分布拟合，其中，p∈[0.5，0.8]拟合较好。

将服从超拉普拉斯分布的图像梯度作为先验约束引入到能量方程中，为了保证求解时能量总是下降的，根据文献[ 7, 13]分析，采用归一化的超拉普拉斯分布作为其中一项正则项。归一化的超拉普拉斯项^{[ 13]}是拉普拉斯项除以图像的总能量，由于在每一步求解过程中，图像的总能量始终是一个常数，因此保持了图像梯度的重尾特性。建立相应的能量方程为：

$E(\mathit{\boldsymbol{f}}) = \frac{{{{\left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{f}}} \right\|}_p}}}{{{{\left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{f}}} \right\|}_2}}}$

(3)

式中， $\nabla \mathit{\boldsymbol{f}}: = \left( {{\nabla _x}\mathit{\boldsymbol{f}},{\nabla _y}\mathit{\boldsymbol{f}}} \right)$ ， ${\nabla _x}\mathit{\boldsymbol{f}}$ 和 ${\nabla _y}\mathit{\boldsymbol{f}}$ 分别表示在像素点x和y方向的微分（本文采用 ${\nabla _x}\mathit{\boldsymbol{f}} = [\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{ - 1} & 1 \end{array}\!\!\!]$ ， ${\nabla _y}\mathit{\boldsymbol{f}} =$ $ {[\begin{array}{*{20}{c}}\!\!\! { - 1} & 1 \end{array}\!\!\!]^{\rm{T}}}$ ）， ${\left\| \cdot \right\|_p}$ 表示L_p范数， ${\left\| \cdot \right\|_2}$ 表示L₂范数。

1.2 点扩散函数的先验信息

对于图像去运动模糊问题，点扩散函数描述的是成像设备与目标物体间的相对运动轨迹，通常被看作是一条很“细”且连续光滑的“线”^{[ 2– 3, 14]}。从数值上讲有运动轨迹上有值，相应的矩阵大部分元素非常小甚至为零，即点扩散函数满足一定的稀疏性。因此，点扩散函数具有连续光滑性和稀疏性^{[ 15]}的内在性质。

1.2.1 点扩散函数的稀疏性

关于点扩散函数正则项，常用的模型为：

$E({\mathit{\boldsymbol{h}}_1}){\rm{ = }}{\left\| \mathit{\boldsymbol{h}} \right\|_p}$

(4)

式中，p≤1能很好地保持点扩散函数的稀疏性。根据文献[ 3, 5, 8]的思想，本文仍采用点扩散函数自身的L₁范数来保证其稀疏性，得到能量方程为：

$E({\mathit{\boldsymbol{h}}_1}){\rm{ = }}{\left\| \mathit{\boldsymbol{h}} \right\|_1}$

(5)

文献[ 3, 5, 8]均未考虑点扩散函数的连续光滑性。

1.2.2 点扩散函数的连续光滑性

对于点扩散函数连续光滑性，本文采用Tikhonov正则化约束来保证，得到能量方程为：

$E({\mathit{\boldsymbol{h}}_2}){\rm{ = }}\left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{h}}} \right\|_2^2$

(6)

式中， $\nabla \mathit{\boldsymbol{h}}: = {({\nabla _x}\mathit{\boldsymbol{h}},{\nabla _y}\mathit{\boldsymbol{h}})^{\rm{T}}}$ ， ${\nabla _x}\mathit{\boldsymbol{h}}$ 和 ${\nabla _y}\mathit{\boldsymbol{h}}$ 分别表示x和y方向的微分（本文采用 ${\nabla _x}\mathit{\boldsymbol{h}} \! = \! [\begin{array}{*{20}{c}} \!\!{ - 1} & 1 \end{array}\!\!\!]$ ， ${\nabla _y}\mathit{\boldsymbol{h}} \! = \! {[\begin{array}{*{20}{c}} \!\!{ - 1} & 1\!\!\! \end{array}]^{\rm{T}}}$ 。

相应地，关于点扩散函数正则项的能量方程为：

$E(\mathit{\boldsymbol{h}}){\rm{ = }}E({\mathit{\boldsymbol{h}}_1}){\rm{ + }}E({\mathit{\boldsymbol{h}}_2}){\rm{ = }}{\left\| \mathit{\boldsymbol{h}} \right\|_1} + \left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{h}}} \right\|_2^2$

(7)

2 基于多正则化约束的图像去运动模糊模型及其求解

本文提出的图像去运动模糊模型的能量方程如式（8）所示：

$\begin{aligned}[b]\!\!\!E(\mathit{\boldsymbol{f}},\mathit{\boldsymbol{h}}){\rm{ = }}\displaystyle\frac{\lambda }{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{h}}*\mathit{\boldsymbol{f}} - \mathit{\boldsymbol{g}}} \right\|_2^2{\rm{ + }}E(\mathit{\boldsymbol{f}}){\rm{ + }}\alpha E({\mathit{\boldsymbol{h}}_1}){\rm{ + }}\beta E({\mathit{\boldsymbol{h}}_2}){\rm{ = }}\\[2pt]\displaystyle\frac{\lambda }{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{h}}*\mathit{\boldsymbol{f}} - \mathit{\boldsymbol{g}}} \right\|_2^2 + \frac{{{{\left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{f}}} \right\|}_p}}}{{{{\left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{f}}} \right\|}_2}}}{\rm{ + }}\alpha {\left\| \mathit{\boldsymbol{h}} \right\|_1} + \beta \left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{h}}} \right\|_2^2\end{aligned}$

(8)

式中： $\lambda \succ 0$ ， $\alpha \ge 0$ ， $\beta \ge 0$ ；第1项是数据保真项；第2项是关于图像梯度的正则项，采用归一化拉普拉斯分布来拟合；第3项保证了点扩散函数的稀疏性；第4项保证了点扩散函数连续光滑性，避免点扩散函数中存在孤立的点。点扩散函数同时要满足半正定性和能量守恒。

采用交替迭代的方法求解式（8）。其中求解清晰图像f的模型如式（9）所示：

$\mathop {\min }\limits_f \left( {\frac{\lambda }{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{h}}*\mathit{\boldsymbol{f}} - \mathit{\boldsymbol{g}}} \right\|_2^2 + \frac{{{{\left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{f}}} \right\|}_p}}}{{{{\left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{f}}} \right\|}_2}}}} \right)$

(9)

式中，由于正则项 $\displaystyle \frac{{{{\left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{f}}} \right\|}_p}}}{{{{\left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{f}}} \right\|}_2}}}$ 导致该能量函数非凸，可以采用其近似值，在迭代的时候用上一步的 ${\left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{f}}} \right\|_2}$ 近似当前步的值，相当于一个常数，该正则项退化为 ${\left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{f}}} \right\|_p}$ ，式（9）等同于求解式（10）。

$\mathop {\min }\limits_f \left( {\frac{\lambda }{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{h}}*\mathit{\boldsymbol{f}} - \mathit{\boldsymbol{g}}} \right\|_2^2 + {{\left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{f}}} \right\|}_p}} \right)$

(10)

采用分裂法对其进行求解，引入辅助变量 $\mathit{\boldsymbol{w}} = ({w_1},w{}_2)$ ，得到约束项如式（11）和（12）所示：

${w_1} = {\nabla _x}\mathit{\boldsymbol{f}}$

(11)

${w_2} = {\nabla _y}\mathit{\boldsymbol{f}}$

(12)

式（8）的无约束优化问题转换为带约束的优化问题，得到式（13）：

$\begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_f \left( \displaystyle {\frac{\lambda }{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{h}}*\mathit{\boldsymbol{f}} - \mathit{\boldsymbol{g}}} \right\|_2^2 + {{\left\| {\mathit{\boldsymbol{w}}} \right\|}_p}} \right)\\[5pt]{\mathop{\rm s}\nolimits} .{\rm{t}}.\quad {w_x} = {\nabla _x}\mathit{\boldsymbol{f}},\;\;{w_y} = {\nabla _y}\mathit{\boldsymbol{f}}\end{array}$

(13)

合并约束项，得到无约束的优化问题，如下：

$\begin{aligned}[b]\mathop {\min }\limits_f (\displaystyle\frac{\lambda }{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{h}}*\mathit{\boldsymbol{f}} - {g}} \right\|_2^2 + \frac{\theta }{2}\left\| {{\nabla _x}\mathit{\boldsymbol{f}} - {w_x}} \right\|_2^2 + \\\displaystyle\frac{\theta }{2}\left\| {{\nabla _y}\mathit{\boldsymbol{f}} - {w_y}} \right\|_2^2 + {\big| {{w_x}} \big|^p} + {\big| {{w_y}} \big|^p})\end{aligned}$

(14)

每次迭代，固定h，求得f的值如式（15）所示：

$\begin{array}{l}{\mathit{\boldsymbol{f}}}{\rm{ = }}{F^{ - 1}}((\overline {F({\mathit{\boldsymbol{h}}})} F(\mathit{\boldsymbol{g}}) + \theta /\lambda (\overline {F([\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1} &1\end{array}])} F({w_x}) + \\[4pt]{\overline {F({{[\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1} &1\end{array}]}^{\rm{T}}})} F({w_y}))) \cdot (\overline {F({\mathit{\boldsymbol{h}}})} F({\mathit{\boldsymbol{h}}}){\rm{ + }}\theta /\lambda (\overline {F([\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1} &1\end{array}])}} \cdot\\[4pt]{ F([\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1} &1\end{array}]) + \overline {F({{[\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1} &1\end{array}]}^{\rm{T}}})} F({[\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1} &1\end{array}]^{\rm{T}}})))^{ - 1}})\end{array}$

(15)

式中， $F( \cdot )$ 表示离散傅里叶变换， ${F^{ - 1}}( \cdot )$ 表示离散傅里叶逆变换， $\overline {F( \cdot )} $ 表示 $F( \cdot )$ 的复共轭。

引入辅助变量v，得到约束项如式（16）所示：

$\mathit{\boldsymbol{v}} = \mathit{\boldsymbol{h}}$

(16)

相应地，带约束的优化问题如式（17）所示：

$\begin{array}{c}\mathop {\min }\limits_f (\displaystyle\frac{\lambda }{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{h}}*\mathit{\boldsymbol{f}} - \mathit{\boldsymbol{g}}} \right\|_2^2 + \alpha {\left\| \mathit{\boldsymbol{v}} \right\|_1} + \beta \left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{h}}} \right\|_2^2)\\[3pt]{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\quad \mathit{\boldsymbol{v}} = \mathit{\boldsymbol{h}}\end{array}$

(17)

合并约束项，得到无约束的优化问题，如下：

$\begin{array}{c}\!\!\! \mathop {\min }\limits_f (\displaystyle\frac{\lambda }{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{h}}*\mathit{\boldsymbol{f}} - \mathit{\boldsymbol{g}}} \right\|_2^2 + \frac{\gamma }{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{h}} - \mathit{\boldsymbol{v}}} \right\|_2^2 +\alpha \left| \mathit{\boldsymbol{v}} \right| + \beta \left\| {\nabla \mathit{\boldsymbol{h}}} \right\|_2^2)\end{array}$

(18)

每次迭代，固定f，求得h的值如式（19）所示：

$\begin{array}{l}(\lambda \overline {F({\mathit{\boldsymbol{f}}})} F({\mathit{\boldsymbol{f}}}){\rm{ + 2}}\beta (\overline {F([\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1} &1\end{array}])} F([\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1} &1\end{array}]){\rm{ + }}\\[4pt]\overline {F({{[\!\!\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\!\! &1\end{array}\!\!]}^{\rm{T}}})} F({[\!\!\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\!\! &1\end{array}\!\!]^{\rm{T}}}{)} + \gamma F({\mathit{\boldsymbol{v}}})))F({\mathit{\boldsymbol{h}}}) = \lambda \overline {F({\mathit{\boldsymbol{f}}})} F({\mathit{\boldsymbol{g}}})\end{array}$

(19)

所以由式（19）可求得h的值如式（20）所示:

$\begin{array}{l}{\mathit{\boldsymbol{h}}} = {F^{ - 1}}((\lambda \overline {F({\mathit{\boldsymbol{f}}})} F({\mathit{\boldsymbol{g}}})) \cdot (\lambda \overline {F({\mathit{\boldsymbol{f}}})} F({\mathit{\boldsymbol{f}}}){\rm{ + }}{\rm{ 2}}\beta {(\overline {F([\!\!\!\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\!\! &1\end{array}\!\!\!])}} \\[4pt]{F([\!\!\!\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\!\! &1\end{array}\!\!\!]){\rm{ + }}\overline {F({{[\!\!\!\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\!\! &1\end{array}\!\!\!]}^{\rm{T}}})} F({[\!\!\!\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\!\! &1\end{array}\!\!\!]^{\rm{T}}}{\rm{)}} + \gamma F({\mathit{\boldsymbol{v}}})))^{ - 1}})\end{array}$

(20)

对于式（14），固定f求解w。

${\hat w_x} = \arg \mathop {\min }\limits_{{w_x}} {\left| {{w_x}} \right|^p} + \frac{\gamma }{2}{({w_x} - {\nabla _x}{f})^2}$

(21)

${\hat w_y} = \arg \mathop {\min }\limits_{{w_y}} {\left| {{w_x}} \right|^p} + \frac{\gamma }{2}{({w_y} - {\nabla _y}{f})^2}$

(22)

对式（21）和（22）分别求导，可得式（23）和（24）：

$p{\left| {{w_x}} \right|^{p - 1}}{\rm{sign}}({w_x}) + \gamma ({w_x} - {\nabla _x}\mathit{\boldsymbol{f}}) = 0$

(23)

$p{\left| {{w_y}} \right|^{p - 1}}{\rm{sign}}({w_y}) + \gamma ({w_y} - {\nabla _y}\mathit{\boldsymbol{f}}) = 0$

(24)

采用牛顿法求解式（23）和（24）。

对于式（23），固定h，利用小波软值公式 $f(x,y) = $ ${\rm{sign}}(x)\max \{ \left| x \right| - y,0\} $ 求得v：

$\mathit{\boldsymbol{v}} = {\rm{sign}}(\mathit{\boldsymbol{h}})\max \{ \left| \mathit{\boldsymbol{h}} \right| - \alpha ,0\} $

(25)

式中，辅助变量的初始值设置为0。

下面重点讨论式（23）中正则化参数、 $\lambda\text{、}\alpha\text{、}\beta \text{和}$ $\gamma $ 的取值， $\lambda\text{、}\alpha\text{ 和 } \beta $ 作为调和参数，需满足 $\lambda \succ 0$ ， $\alpha \ge 0$ ， $\beta \ge 0$ ， $\gamma $ 为固定值。各参数值作用如下：

参数 $\alpha $ 调和点扩散函数的稀疏性，参数 $ \beta $ 调和点扩散函数的连续光滑性。当参数 $\alpha $ =0时，只考虑点开始函数的连续光滑性，模型退化为Tikhonov正则化约束的形式；当 $ \beta $ =0时，只考虑了点扩散函数的稀疏性，导致点扩散函数中可能存在孤立的点^{[ 16]}。参数 $ \gamma $ 决定了点扩散函数的稀疏程度，因此， $\gamma $ 和 $ \beta $ 共同决定了点扩散函数的支持域。为保证得到的点扩散函数的稀疏性，在每次迭代时设置 $\gamma $ 为固定值，通过调节 $\beta $ 的值调和点扩散函数的稀疏性和连续光滑性。如果 $ \lambda $ 过小，则复原图像不仅会变得过度地锐化，而且会出现严重的噪声增强干扰；如果 $ \lambda $ 过大，则会出现严重的过平滑现象，导致复原图像中的许多边缘细节被平滑掉。所以，参数 $ \lambda $ 的选定决定了图像去运动模糊的效果。

实验中， $ \lambda\text{、}\gamma\text{和}\alpha $ 都是固定值。根据经验值，设置 $ \lambda $ =3 000， $ \gamma $ =10×10^–7×像素值之和， $\alpha {\rm{ = }}\displaystyle\frac{{10}}{\gamma }$ 。β₀=10×10^–9×像素值之和，每次迭代过程中， ${\beta _{\rm{new}}} = 2 \times {\beta _{\rm{old}}} $ 。

3 实验结果与分析

所有实验运行的硬件条件为CPU为Core i3，内存为2 GB，运行平台为Matlab R2012b。实验主要包括点扩散函数的估计和复原原始图像，并采用结构相似性（structural similarity index，SSIM）值作为复原图像质量评价指标。实验分别采用合成的运动模糊图像和真实的运动模糊图像评价本文方法的有效性。并与未考虑点扩散函数连续光滑性的图像去运动模糊方法^{[ 3]}进行比较。

3.1 合成的运动模糊图像实验

采用了256×256大小的“Lena”和“Barbara”灰度级标准测试图像用作合成运动模糊的原始清晰图像。

图1（a）是原始清晰图像， 图1（b）中的点扩散函数采用MATLAB标准函数fspecial（‘motion’，10，135）构造， 图1（c）是由文献[ 3]方法所复原的图像， 图1（d）是由本文方法所复原的图像， 图1（e）从左到右分别是真实的点扩散函数、由文献[ 3]方法所估计的点扩散函数和由本文方法估计的点扩散函数。

图2（a）是原始清晰图像； 图2（b）中的点扩散函数由文献[ 8]所提供，该文献提供的图片和运动模糊点扩散函数已作为测试各种图像去运动方法的标准库； 图2（c）是由文献[ 3]方法所复原的图像； 图2（d）是由本文方法所复原的图像； 图2（e）从左到右分别是真实的点扩散函数、由文献[ 3]方法所估计的点扩散函数和由本文方法估计的点扩散函数。

由 图1和 2的实验结果可知，与真实的点扩散函数相比，文献[ 3]中的方法由于未考虑其连续光滑性导致估计得到的点扩散函数具有孤立的点，并且复原的图像如 图1（c）和 2（c）存在“振铃效应”，降低了复原图像的视觉质量。由客观评价标准SSIM值可以看出，本文所提的方法不仅考虑了点扩散函数的稀疏性，还考虑了连续光滑的特性，从而能更准确地估计点扩散函数。

3.2 真实的运动模糊图像实验

为了进一步验证本文方法的有效性，将本文所提出的图像去运动模糊方法运用到真实模糊图像的复原中，并与文献[ 3]提出的方法进行比较。

图3（a）是运动模糊图像， 图2（b）是由文献[ 3]方法所复原的图像， 图2（c）是由本文方法所复原的图像， 图2（d）是 图2（b）的局部放大图像， 图2（e）是 图2（c）的局部放大图像， 图2（e）从左到右分别是由文献[ 3]方法所估计的点扩散函数和由本文方法估计的点扩散函数。

从 图3中可以看出，本文方法同样有效地应用于真实模糊图像的去运动模糊。从 图3（d）和 （e）复原图像的局部放大图和客观评价标准SSIM值可知，本文的方法所复原的图像不仅具有更加清晰的细节，还减轻了“振铃效应”。

4 结　论

已有的图像去运动模糊方法存在估计点扩散函数不连续的问题，提出了一种基于稀疏性和连续光滑性的多正则化约束的模糊图像去运动模糊方法。该方法采用归一化超拉普拉斯来拟合自然图像梯度的重尾分布，同时提出了一种结合稀疏性和连续光滑特性的多正则化约束对点扩散函数进行多重约束。利用变量分裂最优化迭代方法来得到清晰的复原图像，同时准确地估计出相应的点扩散函数。从合成的运动模糊图像复原和真实的运动模糊图像复原实验中可以看出，本文所提出的方法不仅能复原出较清晰的图像，还在一定程度上解决了图像的“振铃效应”。下一步工作将针对如何更好地拟合图像梯度域重尾分布和如何减少参数初始值对图像去模糊结果的影响展开研究，进一步提高图像去运动模糊效果。